楼主
请教一个不等式问题!
设a、b、c>0,求证:a的平方/b+b的平方/c+c的平方/a 大于或等于a+b+c1楼
因为a,b,c>0,所以式子两边同乘以abc得a^3*c+b^3*c+c^3*a>=abc(a+b+c).(1)
用作差法得:a^3*c+b^3*c+c^3*a-abc(a+b+c)=a^2*c(a-b)+b^2*a(b-c)+c^2*b(c-a)
讨论:当a=b=c时,(1)式等号成立。
当a,b,c三个数中有两个相等时,不妨设a=b<c得:
原式=b^3*(b-c)+c^2*b(c-b) 因为a=b
=b(b-c)(b^2-c^2)
=b(b-c)^2*(b+c)>0 (1)式大于成立。
当a,b,c三个数都不相等时,不妨设a>b>c得:
原式=a^2*c(a-b)+b^2*a(b-c)+c^2*b(c-b+b-a)
=a^2*c(a-b)+b^2*a(b-c)+c^2*b(c-b)+c^2*b(b-a)
=c(a-b)(a^2-bc)+b(b-c)(ba-c^2)
因为a>b>c,
所以a-b>0,b-c>0,a^2-bc>0,ba-c^2>0,即原式>0。 (1)式大于成立。
综上所述:所证的不等式成立。
用作差法得:a^3*c+b^3*c+c^3*a-abc(a+b+c)=a^2*c(a-b)+b^2*a(b-c)+c^2*b(c-a)
讨论:当a=b=c时,(1)式等号成立。
当a,b,c三个数中有两个相等时,不妨设a=b<c得:
原式=b^3*(b-c)+c^2*b(c-b) 因为a=b
=b(b-c)(b^2-c^2)
=b(b-c)^2*(b+c)>0 (1)式大于成立。
当a,b,c三个数都不相等时,不妨设a>b>c得:
原式=a^2*c(a-b)+b^2*a(b-c)+c^2*b(c-b+b-a)
=a^2*c(a-b)+b^2*a(b-c)+c^2*b(c-b)+c^2*b(b-a)
=c(a-b)(a^2-bc)+b(b-c)(ba-c^2)
因为a>b>c,
所以a-b>0,b-c>0,a^2-bc>0,ba-c^2>0,即原式>0。 (1)式大于成立。
综上所述:所证的不等式成立。
2楼
我经常没活干了就上上网,看看数学贴子,自己也挺有收获的。
3楼
看的不怎么明白,不妨设a>b>c,我觉得很妨碍啊。
4楼
有没有更简洁的方法
5楼
设a^2/b-b+b^2/c-c+c^2/a-a=(a^2-b^2)/b+(b^2-c^2)/c+(c^2-b^2+b^2-a^2)/a
=(a^2-b^2)*((1/b-1/a)+(b^2-c^2)*(1/c-1/a)
由a,b,c是对称的,不妨设a>b>c,则原试>/0
鞍山退休陈老师.
=(a^2-b^2)*((1/b-1/a)+(b^2-c^2)*(1/c-1/a)
由a,b,c是对称的,不妨设a>b>c,则原试>/0
鞍山退休陈老师.
作者:59.47.75.*08-01-10 22:51回复此贴
6楼
哇,楼上的解法很巧妙。
不过要是像楼上不妨设a>b>c,则只能得出>0,等于0是不成立。
因此还是要分为三种情况来讨论,当a=b=c时。
当a,b,c三个数中有两个相等时。
当a,b,c三个数都不相等时。
当a,b,c三个数都不相等时,用楼上的方法就很简洁了。
不过要是像楼上不妨设a>b>c,则只能得出>0,等于0是不成立。
因此还是要分为三种情况来讨论,当a=b=c时。
当a,b,c三个数中有两个相等时。
当a,b,c三个数都不相等时。
当a,b,c三个数都不相等时,用楼上的方法就很简洁了。
7楼
鞍山退休陈老师说:由a,b,c是对称的,不妨设a>b>c,则原试>/0,可(a^2-b^2)*((1/b-1/a)+(b^2-c^2)*(1/c-1/a)并不对称啊,如果a>c>b,那就不同了啊。??
8楼
如果a>c>b,结果还是一样的(大于0),这个等式成立是对任意的正数a,b,c都成立,那么对于a>b>c肯定也是成立的呀。
9楼
更正一句话:a,b,c是任意的,不仿设...,
若a>c>b,原试(a2-b2)/b+(b2-c2)/c+(c2-a2)/a=(a2-b2)/b+(b2-a2+a2-c2)/c+
(c2-a2)/a=(a2-b2)*(1/b-1/c)+(a2-c2)*(1/c-1/a)
前面说a,b,c是对称的,指的是(1)试.
若a>c>b,原试(a2-b2)/b+(b2-c2)/c+(c2-a2)/a=(a2-b2)/b+(b2-a2+a2-c2)/c+
(c2-a2)/a=(a2-b2)*(1/b-1/c)+(a2-c2)*(1/c-1/a)
前面说a,b,c是对称的,指的是(1)试.
作者:59.47.74.*08-01-11 15:56回复此贴
10楼
明白了,可以不妨设a>=b>=c啊
11楼
不行,如果a>=b>=c,那么分式中存在分母为0的情况。
12楼
由于
a^2/b +b≥2a
b^2/c +c≥2b
c^2/a +a≥2c
上面3式相加得
a^2/b+b+b^2/c+c+c^2/a+a≥2a+2b+2c
(a^2/b+b^2/c+c^2/a)+(a+b+c)≥2(a+b+c)
所以 a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c
a^2/b +b≥2a
b^2/c +c≥2b
c^2/a +a≥2c
上面3式相加得
a^2/b+b+b^2/c+c+c^2/a+a≥2a+2b+2c
(a^2/b+b^2/c+c^2/a)+(a+b+c)≥2(a+b+c)
所以 a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c
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